本文提出了一种发展复合材料壳体二维结构理论的新方法。所提出的方法利用Carrera统一公式(CUF)的能力，结合公理化/渐近方法(AAM)来获得给定结构布局的最佳理论。考虑了不同的结构情况，分析了边界条件、层压和厚度等因素对模型精度的影响。用于评估模型性能的参数是基于单向纤维复合材料的哈希失效准则定义的失效指数(FI)。这个过程的结果是最佳理论图(BTD)，它包含了作为所采用的未知数数量的函数的最高精度的图形表示。结果表明了高阶项对捕获应力场的重要性，以及厚度对最佳理论定义的影响。

　　先进材料的发展及其广泛应用对结构分析的精度和计算成本提出了新的挑战。有限元法是一种灵活可靠的结构设计方法。可以选择不同程度的近似，选择3D元素或2D/1D描述。在最后两种情况下，必须期望得到不太精确的解决方案，尽管计算成本要低得多。此外，简化模型可以通过包括在横截面(1D)和厚度(2D)上发生的更复杂的力学行为描述来增强，尽管仍然可以有效地求解。本文将重点研究复合材料壳体的二维公式。

　　复合材料层压板在航空航天和汽车领域的应用越来越广泛。从[1,2,3]建立的经典层合理论(classic Lamination Theory, CLT)，以及后来修改为一阶剪切变形理论(一阶剪切变形理论，FSDT)[4,5,6]开始，许多模型被开发出来，以获得更准确的横向行为描述。这一目标是通过增加广义未知变量的数量，即节点自由度(DOF)，通过高阶多项式厚度展开[7,8,9,10]或包含非多项式项[11,12,13,14]来实现的。源于这种方法的结构理论，通常被称为高阶理论(HOT)，用等效单层(ESL)近似层压板，这意味着采用的变量的数量与层数无关。此外，还进行了额外的努力来解决剪切锁定现象等数值问题[15,16,17]，并克服了与位移和横向应力的层间连续性相关的限制(-要求)。因此，锯齿形[18]和分层(LW)[19,20,21,22]模型，以及基于Reissner混合变分定理(RMVT)[25]的新的混合有限元公式[23,24]得到了发展。另一类模型源于渐近方法[26]，其优势在于可以先验地确定3D解的精度。

　　本文从公理化/渐近方法(AAM)中得到了高阶理论[27,28,29]。这个过程从公理化地选择多项式展开的最大阶开始，并假设完整模型作为参考。然后抑制项，并且对于每个展开，可以根据参考解评估一个精度级别。这种方法的一个基本方面是精度参数的定义。正如之前的研究[30,31,32]所示，根据输出的选择，对于给定的结构问题，不同的理论可以成为最优理论。本文考虑了一个新的参数来选择复合材料壳二维模型的最佳理论。它基于根据哈希准则(Hashin Criteria)评估的失效指标[33]。考虑了不同的结构问题，以突出诸如厚度、边界条件、曲率和堆叠顺序等特征的影响。AAM的实现是在Carrera统一公式的框架下完成的[18]，这是一种有效且广义的方法，可以获得几乎任何有限元模型的控制方程。

　　本文组织如下:第2节给出了CUF和FEM公式;第3节介绍了哈希失效索引;第4节描述AAM方法;数值结果在第5节中提供和讨论;第六节得出结论。

　　使用Carrera统一公式(CUF)[34]有效地推导出所提出的分析所需的所有理论。采用图1所示的参照系，位移场可表示为

　　图1

　　

　　壳模型的参考几何

　　（1）

　　爱因斯坦符号作用于，而它们是厚度展开函数。为广义未知位移的向量，M为展开项的个数。下面的位移方程用类泰勒多项式展开来描述一个完备的四阶模型(E4):

　　（2）

　　展开的顺序和类型是自由参数。本文使用等效单层(ESL)公式，这意味着在整个结构厚度中假设一组变量，独立于实际层数。在整个论文中，将与采用分层(LW)公式的模型进行一些比较。

　　对于多层壳的几何关系，定义了层的度量系数和;

　　（3）

　　如图1所示，和为层中表面的主半径，为的第一个基本形式的系数。本文只考虑曲率半径为常数，==1。应变可以写成

　　（4)

　　在那里,

　　(5) (6)

　　对于应力-应变关系，有:

　　（7）

　　地点:

　　（8）

　　本文采用的有限元公式采用基于张量分量混合插值(MITC)方法的九节点壳单元(Q9)[17]。位移矢量变为:

　　（9）

　　和分别为节点位移矢量及其虚变化量。将其代入式4所描述的几何应变表达式，可得:

　　（10）

　　MITC通过特定的插值策略对九节点壳单元上的应变分量进行了膜锁和剪切锁的对比。

　　（11)

　　菌株，，，，和源于10。下标m1、m2和m3分别表示在点群(A1、B1、C1、D1、E1、F1)、(A2、B2、C2、D2、E2、F2)和(P、Q、R、S)处求值的量，见图2。插值函数是拉格朗日函数，分为以下数组:

　　（12)

　　通过虚位移原理(PVD)进行静力分析，得到平衡方程如下

　　(13)

　　33矩阵是基本的力学核，其表达式与膨胀顺序无关。是载荷矢量。关于有限元推导过程的更详细描述，读者可参考[35]。

　　图2

　　

　　MITC9平局点

　　本研究采用Hashin失效准则[33]。该方法是针对单向纤维复合材料开发的，基于应力空间中无故障包络线的二次逼近。它的定义依赖于材料参照系中应力张量的横观各向同性不变量。哈辛的方法确定了两种主要的失效机制，一种与纤维有关，另一种与矩阵有关。对于每一个，拉伸和压缩模式可以区分。因此，数学公式依赖于以下四个方程:拉伸纤维模式():

　　（14）

　　压缩纤维模式():

　　(15)

　　拉伸矩阵模式(+):

　　(16）

　　压缩矩阵模式():

　　（17)

　　其中，X为纤维抗拉强度，Y为基体抗压强度，S、S为材料抗剪强度。对于失效指标的评价，本文给出的结果均为IM7/977-3层压板的强度性能，数据来源于[36]，汇总于表1。

　　表1 IM7/977-3的材料性能

　　本节介绍了一种选择高阶广义变量和构建结构理论的方法，称为公理/渐近方法(AAM)。为简洁起见，只有多项式展开项被认为是主要变量。AAM的初步、公理化步骤是选择要达到的扩展的最大阶数。这项工作考虑了四阶模型，因为它们通常提供较高的精度。由于可以使用的15个可用的广义未知数，这种选择导致活动项的总可能组合。在这十五个项中，三个零阶项，和总是被保留，将可能的组合数量从到减少到。这种选择的动机是这些未知数对模型的准确性有相当大的影响，这使得它们对于得出有意义的结果至关重要。此外，全四阶展开模型(E4)是计算误差的参考。该过程的渐近方面需要对每个模型的性能进行评估，这可以通过不同的方式完成，具体取决于感兴趣的输出。如前所述[30,31,32,37]，性能参数可以定义为特定点上单个位移的百分比误差，或通过自由振动分析获得的相对于一定数量的模态频率的误差的平均值。在本文中，单个理论的质量由两个失效指标(即拉伸矩阵模态()和压缩矩阵模态()指标)的平均误差来定义，分别在壳体中心点的顶部和底部进行评估。相对于E4模型的误差百分比评估如下:

　　(18) (19)

　　用于评估模型质量的参数被评估为:

　　(20)

　　这个选择过程的结果使用最佳理论图提供，如图3所示。

　　图3

　　

　　最佳理论图

　　BTD提供了通过使用特定展开项序列的模型获得的不同数量的活动变量的误差。得到的最佳理论可以方便地以表格形式表示每组结构参数。所采用的图形约定使用黑色和白色三角形分别表示活动和非活动展开项，如表2所示。

　　表2最佳理论表示示例

　　为了进行比较，还考虑了第二个性能参数，即最大横向位移的误差百分比[38]，

　　(21)

　　摘要

　　1 介绍

　　2 卡雷拉统一公式与有限元

　　3.哈希失效标准

　　4 公理化/渐近方法和最佳理论图

　　5 数值结果

　　6 结论

　　参考文献

　　作者信息

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　　考虑了几种方形双弯壳的结构情况，均来自[38]。总共选择了七种不同的组合，不同的厚度、堆叠顺序和边界条件。曲率半径总是等于R/a=5。本文所分析的所有案例的共同材料性能如表3所示。

　　表3数值案例使用的材料特性

　　荷载为作用于上表面的双正弦压力分布，定义为，单位幅值=1。除非另有说明，四分之一的壳体采用44目Q9单元和对称边界条件。与[38]类似，结果是使用ESL公式获得的，参考文献是一个完整的四阶E4泰勒展开式。

　　验证考虑轴向应力，并与[39]进行比较。采用无量纲化应力，

　　(22)

　　应力评估采用99网格离散化的整个几何结构，采用ESL公式和完整的四阶泰勒展开，与文献[39]一样。参考论文包含E4解决方案和通过四阶分层描述(称为L4)获得的解决方案。表4给出了评估的应力，以及使用E4和L4公式得到的两个参考解。

　　表4无量纲化应力，SS， [0/90/0]

　　对于所有考虑的配置，结果与[38]中提供的结果完全匹配。对于较薄的外壳，E4和L4模型提供相同的结果。然而，随着a/h参数的增加，两种解决方案之间的差距越来越大。这种现象与分析较厚结构通常需要更详细地描述横向行为的必要性有关，这里由L4公式提供。但L4与E4的差异不大，以下所有案例均保留E4作为参考。

　　第一个案例组由对称层压的简支(SS)球壳组成[0/90/0]。图4、图5和图6分别是厚度为a/h=100、10和5的壳体的BTD。表5、表6和表7显示了它们对应的最佳理论，以及得到的平均误差。从中可以检索到不同的位移场描述;例如，对于a/h=10的SS炮弹，10自由度的最佳模型是

　　(23)

　　此外，分析了应力沿厚度的分布，比较了5、10和15主动自由度下的最佳模型。目的是评估通过有限数量的点计算的FI获得的最佳模型，以获得应力的贯穿厚度分布。它的无量纲形式

　　(24)

　　还添加了三阶分层模型(L3)的结果。图7显示了a/h=100时的和，图8显示了a/h=10时的和，图9显示了a/h=5时的和。表8比较了三种对称层压情况下获得的一些最佳理论的有效项，特别是对于总自由度为7、9和11的情况。展开项在每个子表行中从左到右按从低到高的顺序表示。使用与前面介绍的相同的图形约定来表示活动/非活动术语。表9比较了使用中心横向位移误差获得的相同主动自由度数的最佳理论。这些结果来自[38]。

　　表5最佳理论，SS, a/h=100， [0/90/0]

　　图4

　　

　　BTD, SS, a/h=100, [0/90/0]

　　表6最佳理论，SS, a/h=10， [0/90/0]

　　图5

　　

　　BTD, SS, a/h=10, [0/90/0]

　　表7最佳理论，SS, a/h=5， [0/90/0]

　　图6

　　

　　BTD, SS, a/h=5, [0/90/0]

　　图7

　　

　　在(0,a/2)和(a/2, a/2)中求值，SS, a/h=100， [0/90/0]

　　图8

　　

　　在(0,a/2)和(a/2, a/2)中求值，SS, a/h=10， [0/90/0]

　　图9

　　

　　在(0,a/2)和(a/2, a/2)中求值，SS, a/h=5， [0/90/0]

　　表8最大失效指标平均误差SS，[0/90/0]的最佳理论比较

　　表9横向中心位移平均误差的最佳理论比较，SS， [0/90/0]

　　以下考虑源于上述结果:

　　一般来说，利用FI的平均误差得到的BTD比利用垂直位移的误差得到的BTD误差要大。结构越薄，间隙越小。由于高阶广义位移对应力分布的影响，6自由度或更少自由度的最佳模型在评估FI时存在显著误差。

　　较薄结构的最佳理论有零阶和一阶项，其中面内分量-和-占主导地位。然后是二阶和一阶。在这种情况下，二阶以上的项似乎影响最小。

　　对于a/h=10的中等厚度配置，一阶和仍然是最相关的项。二阶和三阶项比a/h=100的情况更频繁，还有四阶项。

　　对于a/h=5的厚壳层，三阶项是最常见的。更详细地说，线性项几乎完全被忽略，被三阶项所取代。包含三次项的效果特别有利于描述沿结构厚度的应力分布。如图9a所示，这可以克服使用FSDT模型施加的恒定应力分布的限制。

　　关于使用特定选择参数的效果，表8和表9显示，对于少量的主动自由度，两种方法产生非常相似的最佳理论，如果不是完全相同的话。活动项和厚度的增加可以在两个标准产生的结果之间产生一些明显的变化。对于较薄的配置，最佳模型主要与二阶或高阶项不同，而在较厚的情况下，在有效的一阶项中已经可以找到差异。一些最显著的变化是a/h=100情况下的第二、第三和四阶项的丢失，与通过FI评估的理论中通过中心横向位移误差获得的最佳理论相比，a/h=5情况下的四阶项具有更大的相关性。

　　如以往文献[30]所示，误差/自由度图可能存在振荡，即广义未知变量数量的增加并不一定意味着精度的提高。如果不保留所有具有类似影响的术语，添加单一术语可能是有害的。

　　总的来说，使用10自由度会导致与完整的E4情况类似的厚度分布。然而，众所周知，对于横向剪应力，LW模型提供了更准确的结果。

　　本节介绍了四种非对称层压的壳体构型[0/90/0/90]。这些包括两个SS案例，a/h=100和10，其次是两个夹紧自由(CF)案例，a/h=100和5;夹紧的边是平行于-方向的边。表10和表11给出了SS弹的最佳理论。表12和表13是CF的情况。例如，对于a/h=5的CF壳体，10自由度的最佳模型是

　　(25)

　　图10和图11显示了SS病例的BTD，图12和图13显示了它们的应力分布。图14和图15报告了CF shell的BTD。对于后两种情况，沿厚度方向和方向的图如图16和17所示。表14给出了四种考虑构型中具有相同主动自由度数的几种最佳理论的比较，表15给出了[38]中通过中心横向位移得到的最佳模型。

　　表10最佳理论，SS, a/h=100， [0/90/0/90]

　　图10

　　

　　BTD, SS, a/h=100, [0/90/0/90]

　　表11最佳理论，SS, a/h=10， [0/90/0/90]

　　图11

　　

　　BTD, SS, a/h=10, [0/90/0/90]

　　图12

　　

　　在(0,a/2)和(a/2, a/2)中求值，SS, a/h=100， [0/90/0/90]

　　图13

　　

　　在(0,a/2)和(a/2, a/2)中求值，SS, a/h=10， [0/90/0/90]

　　表12最佳理论，CF, a/h=100， [0/90/0/90]

　　图14

　　

　　BTD, CF, a/h=100, [0/90/0/90]

　　表13最佳理论，CF, a/h=5， [0/90/0/90]

　　图15

　　

　　BTD, CF, a/h=5, [0/90/0/90]

　　图16

　　

　　在(0,a/2)和(a/2, a/2)中求值，CF, a/h=100， [0/90/0/90]

　　图17

　　

　　在(0,a/2)和(a/2, a/2)中求值，CF, a/h=5， [0/90/0/90]

　　表14非对称层合壳的最佳理论[0/90/0/90]、SS和CF的最大破坏指标平均误差比较

　　表15非对称层合壳的最佳理论[0/90/0/90]、SS和CF的比较，平均误差超过横向中心位移

　　从第二组结果可以看出

　　从SS案例出发，线性术语和仍然是最相关的。对于a/h=100的较薄配置，二阶项比三阶项更频繁，而对于a/h=10的较厚情况则相反。通过比较非对称层压与对称层压的结果，可以注意到，薄壳的三阶项的相关性略有降低，而有利于一些四阶项。在较厚的情况下，四阶平面内项和三阶项的权重更大。

　　对于CF构型，三阶和四阶项更占优势，尤其是平面内项和。对于a/h=5的情况，线性项几乎不存在高达9个主动自由度，取而代之的是三阶平面内自由度。这些展开项允许更简单的模型提供更接近参考模型的解，如图17a所示的横向应力分布可见一斑。

　　表14中提供的比较总结了突出显示的行为:在较厚结构的情况下，高阶膨胀项是强制性的。

　　利用FI得到的最佳理论与通过横向位移得到的理论存在一些差异。从少量的主动自由度开始，相对于SS的情况是相同的。同时，在无夹紧情况下，可以发现更显著的变化。通过增加展开式项的数量，偏差很小，并且主要与三阶或四阶项有关。

　　本文提出了一种建立复合结构静力分析壳体模型的新方法。利用失效指标评价简化模型的精度，并利用公理化/渐近方法研究高阶广义位移变量的影响。等效的单层模型考虑最多四阶项。采用Carrera统一公式得到了控制方程和相应的有限元阵列。考虑了边界条件、叠加顺序和厚度值的不同组合。获得了最佳理论图，其中对于给定的节点自由度，可以读取用于最大化精度的广义位移变量集。可以得出以下结论:

　　高阶项对于确定失效指标是必不可少的，对于较厚的壳体是必需的，其中三阶项的作用是决定性的。

　　高阶项的适当选择可以导致模型需要很少的自由度，例如，对于较厚的壳，只要考虑三阶项，剪切沿厚度的分布就不会出现显着变化。然而，仅使用等效单层高阶模型不足以实现高保真的横向应力预测。

　　与厚度相比，边界条件和堆积顺序的影响可以忽略不计，主要影响同阶不同膨胀项的激活。对于厚度为a/h=100和10的壳体，一阶项和总是存在的，而三阶和四阶项对较薄的壳体的有利程度略低。

　　结构模型的发展取决于问题，BTD可以为那些影响更大的变量提供指导方针，或者表明给定结构理论的准确性。然而，由于对输入参数的强烈依赖，BTD的构建可能在计算上很昂贵。可以避免计算负担，未来的工作将探索同时使用多个性能参数来提高简化模型的鲁棒性，并使用机器学习技术代替FEM分析，并通过训练网络获得最佳模型。

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